Теоретические основы решения

Теоретические основы решения

Задачка 9

УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО-СЖАТОГО СТЕРЖНЯ

Условие задачки

Стержень, схема которого приведена в табл. 9.1, сжат силой, приложенной в центре масс сечения. Длина l стержня, вид материала и характеристики стержня σа , σb , λ0 , λпред из этого материала заданы в табл. 9.2. Варианты формы и размеров поперечного сечения указаны в табл. 9.3, 9.4 .

Требуется:

1. Найти допускаемую силу .

2. Отыскать Теоретические основы решения критичное значение сжимающей критичной силы и припас стойкости по допускаемой силе

Теоретические базы решения

В практике нередко встречаются случаи нагружения частей продольной силой, при которых вероятна утрата стойкости. Такие элементы рассматривается как стержень под действием сжимающей продольной силы Р либо, как принято гласить, рассматривается центрально-сжатый стержень. Такая расчётная схема используется при расчёте Теоретические основы решения стоек оборудования, стержней устройств, несущих колонн, стержней ферм др.

При определённом значении силы происходит неожиданное искривление стержня и изменение начальной прямолинейной формы упругого равновесия, – это утрата стойкости стержня (рис. 9.1, а). Значение силы именуют критичной Ркр, тогда критичное напряжение в стержне равно

,

где А ‒ площадь поперечного сечения стержня. Опасность Теоретические основы решения утраты стойкости не только лишь во внезапности, да и в том, что она происходит при критичном напряжении , которое возможно окажется значительно меньше допускаемого: .

Способность стержня сохранять исходную форму упругого равновесия под нагрузкой именуется устойчивостью. Стержень устойчив, если сила и напряжение не превосходят определённых допускаемых значений, потому условие стойкости Теоретические основы решения имеет вид:

,…………………(9.1)

где nу ─ коэффициент припаса стойкости, и ─ допускаемые на устойчивость сила и напряжение. Коэффициент припаса стойкости находится в зависимости от предназначения стержня и его материала. Так для железных стержней, применяемых в технике, , для дерева , для чугуна .

Нужно увидеть,что теряют устойчивость не только лишь центрально-сжатые стержни, да и Теоретические основы решения многие другие конструкции, расчётная схема которых совсем другая, к примеру, пластинки и оболочки. Устойчивость – это большой раздел механики деформируемых тел.

Ркр
а Б

Рис. 9.1

Величина критичной силы для центрально сжатого стержня находится в зависимости от его принципиальной геометрической свойства ‒ гибкости стержня λ, значение которой определяют как

, (9.2)

где – коэффициент приведения длины Теоретические основы решения стержня, он указан на расчётной схеме стержня; – малый радиус инерции сечения, тут – малый момент инерции сечения, этим учитываем, что утрата стойкости происходит в плоскости меньшей жёсткости, А-площадь сечения.

На рис. 9.1, б дана диаграмма критичных напряжений , на которой выслеживается три зависимости этих напряжений от гибкости стержня. По величине гибкости стержней имеем Теоретические основы решения три группы стержней: III-я группа ‒ длинноватые стержни; II-я ‒ средние и I-я ‒ недлинные. Ввиду этого формула для вычисления силы выбирается зависимо от величины гибкости λ, отысканной по (9.2) для определенного центрально-сжатого стержня.

При гибкости стержня λ, удовлетворяющей условию

λ ≥ ,

имеем длинноватые стержни (III-я группа). Тут ‒ предельная упругость стержня, которая находится в Теоретические основы решения зависимости от параметров материала стержня. Её значение определяется как

,

где Е ‒ модуль упругости материала, σпц ‒ егопредел пропорциональности.

Для длинноватых стержней употребляется формула Эйлера

. (9.3)

При гибкости стержня λ, удовлетворяющей условию

λ0 ≤ λ ≤ λпред,

имеем средние стержни (II-я группа). Критичную силу для их вычисляют по эмпирической формуле Ясинского-Тетмайера

. (9.4)

Значения величин Ϭа, Ϭв, и Теоретические основы решения необходимо взять из табл.9.2, они получены зависимо от вида материала и гибкости стержня.

Если упругость стержня λ≤ λ0 ,имеем недлинные стержни (I-я группа), они не теряют стойкости и рассчитываются на крепкость.

Для расчётов сжатых стержней сотворено условие стойкости, которое справедливо для всех трёх групп стержней. Считая, что в сечении площадью А напряжения Теоретические основы решения равны , условие стойкости записывают в виде

, (9.5)

где - коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения . Коэффициент ещё именуют коэффициентом продольного извива. Он меняется в границах 0 ÷ 1. Значения для неких материалов приведены в табл. 9.5. Условие (9.5) именуют условием стойкости по коэффициенту уменьшения основного допускаемого напряжения , либо условием стойкости по коэффициенту .

Пример решения задачки Теоретические основы решения 9

Для центрально-сжатого стержня (рис. 9.2) длина стержня l = 4 м. Материал стержня ‒ сталь Ст. 5, вид поперечного сечения стержня задан схемой (рис. 9.2, б). Значение отрезка а равно а = 30 мм = 3 см.

1. Определение допускаемой силы.

Условие стойкости по коэффициенту φ (9.5) содержит допускаемое напряжение на устойчивость .

Тогда значение допускаемой силы [Pу] для центрально-сжатого стержня Теоретические основы решения равно

. (9.6)

Для вычисления [Pу] необходимо знать площадь А поперечного сечения данного стержня и значение коэффициента , которое выбирается из табл.9.6 по значению гибкости данного стержня , вычисляемой по формуле (9.2). Подставляем в эту формулу m=0,5 (он указан на схеме стержня); – малый момент инерции данного сечения ‒ это один из 2-ух основных моментов инерции сечения Теоретические основы решения Imax и Imin. Главныемоменты инерции ̶ это моменты инерции относительно так именуемых основных осей, в каких центробежный момент инерции равен нулю. Для выполнения расчётов найдём значения Imax, Imin и возьмём Imin .

А Б

Рис. 9.2

Поначалу, используя данное значение a = 3 см, вычертим сечение в масштабе и проставим числовые значения соответствующих размеров (рис. 9.3, б Теоретические основы решения).

Рассматриваемое сечение имеет последующие особенности.

Во первых, сечение имеет две оси симметрии, потому центр масс всего сечения находится на их скрещении − в точке С1. Через эту точку проведём центральные оси всего сечения xс и yс (рис. 9.3, б).

Во вторых, для рассматриваемого симметричного сечения центробежный момент инерции в осях xс и Теоретические основы решения yс равен нулю, и это значит, что центральные оси всего сечения xс и yс есть главные оси, и центральные моменты инерции сечения и есть разыскиваемые главные моменты инерции Imax, Imin.

В третьих, рассматриваемое сечение ‒ составное, и моменты инерции необходимо вычислять, используя моменты инерции отдельных фигур, составляющих Теоретические основы решения сечение. Сечение можно представить состоящим из последующих обычных фигур: прямоугольника высотой 4а =12мм и шириной 3а =9ммидвух вырезов в виде полукругов поперечником 2а=6мм,т. е. составное сечение разложим на отдельные элементы (либо фигуры). Присвоим им индексы i = 1, 2,3.

а ─ Данная схема сечения б ─ Чертёж сечения
в ─ 1-й элемент г ─ 2-й и Теоретические основы решения 3-й элементы

Рис. 9.3

Изобразим эти элементы раздельно, нанесём их центры тяжести и через точки проведём собственные оси каждого элемента (см. рис. 9.3, в, г). Заметим, что центр масс полукруга удалён от поперечника (см. табл. П.6 Приложения к данному пособию) на расстояние, равное

мм.

Оси частей перенесём на составное сечение (рис Теоретические основы решения. 9.3, б).

Возьмём за вспомогательные оси координат оси (x1, y1). Тогда координаты центра масс всего сечения равны нулю: xс=0, yс=0, и координаты центра масс каждой фигуры последующие:

, , .

Вычислим центральные моменты инерции всего сечения, используя формулы моментов инерции относительно параллельных осей:

, (9.7)

в которые входят геометрические свойства i-элементов cечения: площадь Теоретические основы решения Аi, осевые Ixi, Iyi моменты инерции относительно собственных осей частей (xi, yi); и расстояния меж осями ai = yi - yc, bi = xi - xc.

Значения площади и моментов инерции частей cечения относительно собственных осей частей подсчитаем по формулам, представленным в табл. П.6 Приложения. Нужно сделать последующее примечание: для отверстий площадь и Теоретические основы решения моменты инерции считаем отрицательными. В нашем примере отверстиями являются полукруги, для их площадь и моменты инерции принимаем со знаком « - ».

Для 1-го элемента (прямоугольника) получим

см2, см4,

см4.

Для 2-го и 3-го частей (полукруга) получим:

см2,

см4,

см4.

Сейчас по (9.7) вычислим осевые моменты инерции всего сечения. Осевой момент инерции относительно оси xc равен

см4,

Осевой Теоретические основы решения момент инерции относительно оси yc

см4.

Отысканные центральные моменты инерции есть главные моменты инерции сечения. Укажем значения основных моментов инерции Imax, Imin:

см4, см4.

Утрата стойкости происходит в плоскости малого момента инерции Imin = 563 мм4, потому при вычислении гибкости стержня радиус инерции равен

Сейчас подсчитаем упругость стержня по (9.2),

Из Теоретические основы решения табл. 9.5 выписываем соотношения для 2-х ближайших значений (λ = 70 и λ = 80) и при помощи прямой пропорции (либо интерполирования) находим необходимое значение .

Имеем: при гибкости λ = 70 ̶ коэффициент φ = 0,81,

при гибкости λ = 80 ̶ коэффициент φ = 0,75.

Необходимое значение коэффициента

Сейчас найдём значение допускаемой силы по (9.6):

=


teoreticheskie-osnovi-ispitaniya-materialov-na-rastyazhenie.html
teoreticheskie-osnovi-izucheniya-kadastrovogo-ucheta.html
teoreticheskie-osnovi-konceptualnoj-profilakticheskoj-modeli.html